メールサーバの引っ越しについては、検索すると数多くその手順が書かれています。
しかしDNSのMXレコードの書き換えがメインとなるところなので、逆にユーザーのPCのメーラー（メールソフト）の設定はちょっと大雑把だったりします。

新旧メールサーバどちらにメールが届いても確実に受信できる設定をするのですが、メーラーにできた２つの受信トレイ間の話や引っ越し完了の後、どうしたらいいかなど、そんなアナログっぽいところが詳しくなかったりします。
そこはこうしたら？という点を含めて書いておきたいと思います。

POP受信が前提ですが、下記の手順となります。

1. （新サーバ）新しいメールサーバの設定を済ませる。
2. （PC端末）ユーザーのPCのメーラーで既存のアカウントに設定されているメールの受信サーバのドメインをIPアドレスにする。
   受信サーバのドメインって？と思われる方も多いかと思います。
   検索するとメールヘッダーの
   Received: from mail.example.jp([xxx.xxx.xxx.xxx])
   のxxx.xxx.xxx.xxxですと書いてあったりしますが、Receivedが複数あるので迷います。
   私の場合はメーラーの設定画面に書かれている受信サーバのドメイン名でIPアドレス検索 にかけて調べました。
   いくつか、メーラーの設定画面を載せておきます。

   （下記はThunderbirdの受信サーバの設定画面例）

   
   

   （下記はThunderbirdの送信サーバの設定画面例）

   
   

   （下記はOutlookの送信・受信サーバの設定画面例）

   
   

3. （PC端末）そのメーラーの設定画面のドメインを、調べたIPアドレスに書き換えて、自分のメアドにテスト送信してみて、受け取れることを確認する。
   受け取れなければ間違っているということになりますのでIPアドレスを再確認してください。

   （注意）
   なお、メーラーの受信サーバ設定を変えると、送信時にパスワードを聞かれますが、メーラーに覚え込ませていてパスワードを覚えてないという人が非常に多いので、気をつける必要があります。

4. （PC端末）自分宛てのテスト送受信ができたら、次にメーラーで臨時のアカウントを追加します。

   なぜ臨時？
   検索すると、引っ越しが完了したあと、既存（古い）のアカウント設定を削除と書いてあったりしますが、振り分けのローカルフォルダや振り分け設定などが既存のアカウントのほうで結構やっちゃってる場合は、引っ越しが終わったら既存のアカウントを生かしたいからです。

   臨時のアカウントに設定するメアドは同じですが、送受信のサーバ名は（新しいメールサーバ情報を参照して）ドメインで設定します。

5. （DNS）ドメインのDNSのMXレコードのIPアドレスを（新しいメールサーバ情報を参照して）書き換える。
6. （PC端末）メーラーで新しく追加した受信トレイにメールが届いたら、既存の（古い）受信トレイにせっせとメールを移す。

   （下記はThunderbirdの画面）
   臨時のアカウントで受信したメールを選択、右クリックで既存のアカウントの受信トレイに移すところ。

   
   

   送信する際も既存のアカウントのほうで送信をします。

7. （PC端末）数日間（5日間前後）様子を見て、既存の受信トレイに完全にメールが届かなくなったら、既存のアカウントの（IPアドレスで書いていた）受信サーバ、送信サーバを新しいサーバの送受信サーバのドメイン（臨時追加していたアカウントのサーバ設定）に書き換える。
   同時に臨時追加していたアカウントを（受信トレイが空なのを確認して）削除する。
8. （PC端末）自分宛てにテストメールを送信して受け取れることを確認する。
9. （既存サーバ）メールサーバを解約（？）

いかがでしょうか。
メーラーの古いアカウントのほうを残すやり方です。
古いアカウントの送受信サーバ設定は最後に変更しますが、そのほうが現実的かと思いました。
ご参考頂く方は自己責任でお願いします。

（追伸）
DNSの浸透（反映）について、下記の記事を書きました。
参考：ロリポップからエックスサーバへサーバを移し、DNSの浸透状況を48時間追ってみた。
wwwサーバのアクセスデータですが、ご興味があればどうぞ。